Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам  5 ≤ x, y, z ≤ 8.
Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  S = 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² – x⁴ – y⁴ – z⁴ ?

   Решение

Темы:    [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Разложение на множители ] [ Формула Герона ] [ Неравенства для площади треугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Неотрицательные числа x, y, z удовлетворяют неравенствам  5 ≤ x, y, z ≤ 8.
Какое наибольшее и наименьшее значение может принимать величина  S = 2x²y² + 2x²z² + 2y²z² – x⁴ – y⁴ – z⁴ ?

Подсказка

Раскройте скобки в формуле Герона.

Решение

  S = 4x²y² – (x² + y² – z²)² = (2xy – x² – y² + z²)(2xy + x² + y² – z²) = ((x + y)²– z²)(z² – (x – y)²) = (x + y + z)(x + y – z)(x – y + z)(y + z – x).
  Рассмотрим треугольник со сторонами x, y, z (неравенства треугольника выполнены по условию). Если его площадь равна s, то по формуле Герона
S = 16s².
  Оценка сверху. Пусть x – наименьшая сторона треугольника. Тогда угол между сторонами не превышает 60°, и наибольшая площадь – у равностороннего треугольника со стороной 8, то есть при  x = y = z = 8.
  Оценка снизу. Пусть x – наибольшая сторона треугольника. Если противолежащий угол острый, то он не меньше 60°, значит, наименьшая площадь – у равностороннего треугольника со стороной 5, то есть при  x = y = z = 5.  Если противолежащий угол тупой, то из теоремы косинусов видно, что наибольшее значение этого угла достигается, когда  x = 8,  а  y = z = 5.  Значит, и площадь наименьшая при этих значениях x, y, z. Но
(5 + 5 + 5)(5 + 5 – 5)³ = 3·5⁴ < (8 + 5 + 5)(5 + 5 – 8)(8 + 5 – 5)² = 3²·5·2⁸.

Ответ

3·5⁴ ≤ S ≤ 3·8⁴.

Источники и прецеденты использования