Версия для печати
Убрать все задачи

---

У золотоискателя есть куча золотого песка массой 37 кг (и больше песка у него нет), двуxчашечные весы и две гири 1 и 2 кг. Золотоискатель умеет делать действия двух типов:

уравнивать весы, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может пересыпать часть песка с одной чаши на другую так, чтобы весы встали в равновесие;

досыпать до равновесия, т.е. если сейчас весы не в равновесии, то он может добавить песка на одну из чаш так, чтобы весы встали в равновесие.

Конечно, каждое из этих действий он может сделать только если для этого у него хватает песка.

Как ему за два действия с весами получить кучку, в которой ровно 26 кг песка? Смешать две кучки песка, а также просто ставить что-то на весы действием не считается.

   Решение

---

Два игрока по очереди выписывают на доске в ряд слева направо произвольные цифры. Проигрывает игрок, после хода которого одна или несколько цифр, записанных подряд, образуют число, кратное 11. Кто из игроков победит при правильной игре?

   Решение

---

Пусть $f(x)=x^2+3x+2$. Вычислите $$\Bigl(1-\frac{2}{f(1)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(2)}\Bigr)\Bigl(1-\frac2{f(3)}\Bigr)\ldots\Bigl(1-\frac2{f(2019)}\Bigr).$$

   Решение

---

Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

   Решение

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Кубические многочлены ] [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Методы решения задач с параметром ] [ Теорема Безу. Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Найдите все действительные значения a и b, при которых уравнения  x³ + ax² + 18 = 0,   x³ + bx + 12 = 0  имеют два общих корня, и определите эти корни.

Решение

Оба общих корня являются корнями трёхчлена  (x³ + ax² + 18) – (x³ + bx + 12) = ax² – bx + 6.  По теореме Безу оба кубических многочлена делятся на этот трёхчлен:  x³ + bx + 12 = (ax²– bx + 6)(cx + d).  Сравнивая коэффициенты, получаем:  ac = 1,  ad – bc = 0,  6c – bd = b,  6d = 12,  откуда  d = 2,  b = 2c,  a = c²,
c³ = 1.  Итак,  a = c = 1,  b = d = 2.  Осталось найти корни трёхчлена  x² – 2x + 6.

Ответ

Источники и прецеденты использования