Найдите геометрическое место середин отрезков с концами на двух данных параллельных прямых.

   Решение

В равнобокой трапеции AВСD основания AD и ВС равны 12 и 6 соответственно, а высота равна 4. Сравните углы ВАС и САD.

   Решение

В некотором государстве человек может быть зачислен в полицию только в том случае, если он выше ростом чем 80% (или больше) его соседей. Чтобы доказать свое право на зачисление в полицию, человек сам называет число R (радиус), после чего его "соседями" считаются все, кто живёт на расстоянии меньше R от него (число соседей, разумеется, должно быть не нулевое). В этом же государстве человек освобождается от службы в армии только в том случае, если он ниже ростом, чем 80% (или больше) его соседей. Определение "соседей" аналогично; человек сам называет число r (радиус) и т. д., причём R и r не обязательно совпадают. Может ли случиться, что не менее 90% населения имеют право на зачисление в полицию и одновременно не менее 90% населения освобождены от армии? (Каждый человек проживает в определенной точке плоскости.)

   Решение

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную окружность этого треугольника в точках A₀ и C₀ соответственно. Прямая, проходящая через центр вписанной окружности треугольника ABC параллельно стороне AC , пересекается с прямой A₀C₀ в точке P . Докажите, что прямая PB касается описанной окружности треугольника ABC .

   Решение

Найдите наибольшее значение функции y = 16x-5 sin x+3 на отрезке [-;0] .

   Решение

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

   Решение

Тема:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если уравнения  x³ + px + q = 0,  x³ + p'x + q' = 0  имеют общий корень, то  (pq' – qp')(p – p')² = (q – q')³.

Решение

  Общий корень является также корнем уравнений   (x³ + px + q) – (x³ + p'x + q') = (p – p')x + (q – q') = 0  и
q'(x³ + px + q) – q(x³ + p'x + q') = (q' – q)x³ + (pq' – qp')x = 0.
  Если общий корень – 0, то  q' = q = 0,  и условие выполнено.
  В противном случае  (p – p')x = q' – q,  (q' – q)x² = qp' – pq'.
  Отсюда  (q – q')³ = (q – q')(p – p')²x² = (p – p')²(pq' – qp').

Источники и прецеденты использования