На конференции присутствовали представители двух конкурирующих фирм “Индекс” и “Зугл” Алексей, Борис и Владимир. Представители одной и той же компании всегда говорят правду друг другу и врут конкурентам. Алексей сказал Борису: «Я из фирмы “Индекс”». Борис ответил: «О! Вы с Владимиром работаете в одной фирме!». Можно ли по этому диалогу определить, где работает Владимир?

   Решение

Даны две точки A и B. Найдите геометрическое место таких точек C, что точки A, B и C можно накрыть кругом единичного радиуса.

   Решение

Внутри выпуклого четырехугольника с суммой длин диагоналей d расположен выпуклый четырехугольник с суммой длин диагоналей d'. Докажите, что d' < 2d.

   Решение

  Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
  а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду  x⁴ = Ax² + Bx + C.     (*)
  б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде  x⁴ + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²).     (**)
    Докажите, что для некоторого  α > – ^A/₂  правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
  в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).

   Решение

Тема:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

  Этот метод позволяет решать произвольное уравнение 4-й степени путем сведения его к решению вспомогательного кубического уравнения и двух квадратных уравнений.
  а) Докажите, что любое уравнение 4-й степени можно привести к виду  x⁴ = Ax² + Bx + C.     (*)
  б) Введём действительный параметр α и перепишем уравнение (*) в виде  x⁴ + 2αx² + α² = (A + 2α)x² + Bx + (C + α²).     (**)
    Докажите, что для некоторого  α > – ^A/₂  правая часть равенства (**) превращается в полный квадрат.
  в) Пользуясь равенством (**), опишите метод нахождения корней уравнения (*).

Решение

  а) Чтобы в уравнении  t⁴ + at³ + bt² + ct + d = 0  устранить коэффициент перед третьей степенью достаточно сделать замену  t = x – ^a/₄.

  б) Для того чтобы выражение  (A + 2α)x² + Bx + (C + α²)  было полным квадратом, то есть представлялось в виде  (px + q)²,  достаточно обращения в ноль дискриминанта  B² – 4(A + 2α)(C + α²).  Раскрыв скобки, получим кубическое уравнение  α³ + Aα² + 2Cα + AC – ^B²/₄ = 0.     (***)
  Поскольку левая часть при  α = – ^A/₂  равна  – ^B²/₄,  то уравнение (***) имеет решение на промежутке  [0, + ∞).

  в) Из кубического уравнения (***) находим α (например, по формуле Кардано, см. задачу 61262). После этого уравнение (**) записывается в виде
(x² + α)² = (px + q)²  и распадается на два квадратных уравнения:  x² + α = ± (px + q).

Источники и прецеденты использования