Задача 61333

Темы:    [ Многочлены (прочее) ] [ Итерации ] [ Теорема Виета ]

Сложность: 4- Классы: 10,11 Название задачи: Метод Лобачевского.

Условие

Пусть многочлен  P(x) = xⁿ + a_n–1x^n–1 + ... + a₁x + a₀  имеет корни  x₁, x₂, ..., x_n,  причем  |x₁| > |x₂| > ... > |x_n|.  В задаче  60965 был предъявлен способ построения многочлена Q(x) степени n, корнями которого являются числа     На основе этого рассуждения Лобачевский придумал метод для приближенного поиска корней многочлена P(x). Он заключается в следующем. Строится такая последовательность многочленов  P₀(x), P₁(x), P₂(x), ...,  что  P₀(x) = P(x)  и многочлен P_k(x) имеет корни     Пусть     Докажите, что

  а)  

  б)  

Решение

  а)       поскольку при  k → ∞  выражение в скобках стремится к 1, а показатель степени – к нулю.

  б) Рассмотрим случай  l = 2  (остальные аналогичны).

 

что стремится к |x₂| по тем же причинам, что в а).

Замечания

Знаки корней определяются подстановкой полученных результатов в P(x).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Итерации
Тема	Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее)
задача
Номер	09.083