Информация о задаче

Задача 61500

Тема:

[

Формальные степенные ряды

]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Назовем экспонентой следующий степенной ряд: Exp(z)=1+z+z²/2!+...+zⁿ/n!+...
Докажите следующие свойства экспоненты:
а) Exp $\nolimits{^\prime}$ (z) = Exp $\nolimits$ (z); б) Exp $\nolimits$ (( $\alpha$ + $\beta$ )z) = Exp $\nolimits$ ( $\alpha$ z)^.Exp $\nolimits$ ( $\beta$ z).

Решение

Первое равенство непосредственно следует из определения производной формального степенного ряда. Для доказательства второго равенства сравним коэффициенты при zⁿ в рядах Exp $\nolimits$ (( $\alpha$ + $\beta$ )z) и Exp $\nolimits$ ( $\alpha$ z)^.Exp $\nolimits$ ( $\beta$ z). В первом случае, это ${\dfrac{(\alpha+\beta)^n}{n!}}$ , во втором —

$\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$ $\displaystyle {\dfrac{\alpha^k}{k!}}$ ^. $\displaystyle {\dfrac{\beta^{n-k}}{(n-k)!}}$ = $\displaystyle {\dfrac{1}{n!}}$ $\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{n}$ C_n^k $\displaystyle \alpha^{k}_{}$ $\displaystyle \beta^{n-k}_{}$ .

Равенство этих коэффициентов следует из формулы бинома Ньютона (задача 2.54 ).

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Последовательности и ряды
Тема	Последовательности
параграф
Номер	3
Название	Производящие функции
Тема	Производящие функции
задача
Номер	11.073