На сторонах треугольника внешним образом построены три квадрата. Какими должны быть углы треугольника, чтобы шесть вершин этих квадратов, отличных от вершин треугольника, лежали на одной окружности?

   Решение

Темы:    [ Раскладки и разбиения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

На доске написано n натуральных чисел. Пусть a_k – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные a_k. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Подсказка

Проследите за изменением диаграммы Юнга.

Решение

См. задачу 98424.

Источники и прецеденты использования