Правильный многоугольник  A₁...A_n вписан в окружность радиуса R с центром O, X — произвольная точка.
Докажите, что   A₁X² + ... + A_nX² = n(R² + d²),  где  d = OX.

   Решение

Основания трапеции равны 8 и 2. Углы, прилежащие к большему основанию, равны по 45^o. Найдите объем тела, образованного вращением трапеции вокруг большего основания.

   Решение

Проанализируйте при помощи ним-сумм игру ``Йога'' из задачи 4.21.

   Решение

Найдите остаток от деления 3¹⁹⁸⁹ на 7.

   Решение

Биссектрисы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. Описанные окружности треугольников AIC₁ и CIA₁ повторно пересекают дуги AC и BC (не содержащие точек B и A соответственно) описанной окружности треугольника ABC в точках C₂ и A₂ соответственно. Докажите, что прямые A₁A₂ и C₁C₂ пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что при любых k и l многочлен g_k,l(x) является возвратным, то есть  
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

   Решение

Темы:    [ Многочлены Гаусса ] [ Раскладки и разбиения ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при любых k и l многочлен g_k,l(x) является возвратным, то есть  
(Определение многочленов Гаусса см. здесь.)

Подсказка

Можно вывести указанное равенство как непосредственно из определения многочленов Гаусса, так и при помощи свойств чисел P_k,l(n) (см. задачу 61525), используя результат задачи 61526 б).

Источники и прецеденты использования