На клетчатой доске 10×10 в одной из клеток сидит бактерия. За один ход бактерия сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две бактерии (обе остаются в той же клетке). Затем снова одна из сидящих на доске бактерий сдвигается в соседнюю по стороне клетку и делится на две, и так далее. Может ли после нескольких таких ходов во всех клетках оказаться поровну бактерий?

   Решение

Можно ли из квадрата со стороной 10 см вырезать несколько кругов, сумма диаметров которых больше 5 м?

   Решение

На белых и чёрных клетках доски 10×10 стоит по одинаковому количеству ладей так, что никакие две ладьи друг друга не бьют.
Докажите, что на эту доску можно поставить еще одну ладью так, чтобы она не била никакую из уже стоящих.

   Решение

Темы:    [ Подсчет двумя способами ] [ Четность и нечетность ] [ Шахматные доски и шахматные фигуры ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

На белых и чёрных клетках доски 10×10 стоит по одинаковому количеству ладей так, что никакие две ладьи друг друга не бьют.
Докажите, что на эту доску можно поставить еще одну ладью так, чтобы она не била никакую из уже стоящих.

Решение

  Так как ладьи друг друга не бьют, то на каждой горизонтали и на каждой вертикали расположено не более чем по одной ладье. Если бы ладей было 10, то на чёрных клетках стояло бы чётное число ладей (см. замечание к задаче 35488), что не так. Значит, общее число ладей не больше восьми.
  Следовательно, найдутся, по крайней мере, две свободные вертикали и две свободные горизонтали, на пересечении которых мы сможем поставить даже две ладьи.

Источники и прецеденты использования