Задача 64409

Темы:    [ Деление многочленов с остатком. НОД и НОК многочленов ] [ Производная и кратные корни ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что многочлен P(x) делится на свою производную тогда и только тогда, когда P(x) имеет вид  P(x) = a_n(x – x₀)ⁿ.

Решение

  Если многочлен имеет указанный вид, то утверждение очевидно.
  Пусть многочлен P степени n делится на P'. Частное должно иметь первую степень, поэтому из сравнения старших коэффициентов отсюда следует, что  nP(x) =  (x – x₀)P'(x).
  Пусть x₀ – корень кратности k, то есть  P(x) = (x – x₀)^kQ(x),  где  Q(x₀) ≠ 0.  Тогда
n(x – x₀)^kQ(x) = nP(x) = (x – x₀)P'(x) = (x – x₀)^k+1Q'(x) + k(x – x₀)^kQ(x),  то есть  nQ(x) = (x – x₀)Q'(x) + kQ(x),  (n – k)Q(x) = (x – x₀)Q'(x).  Поскольку  Q(x₀) ≠ 0,  отсюда следует, что  k = n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	6
Название	Многочлены
Тема	Многочлены
параграф
Номер	4
Название	Многочлены с кратными корнями
Тема	Многочлены (прочее)
задача
Номер	06.101