Задача 64468

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Условие

Автор: Ивлев Ф.

Пусть A₁ и C₁ – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AB соответственно, а A' и C' – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B, с продолжениями сторон BC и AB соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на A₁C₁ тогда и только тогда, когда прямые A'C₁ и BA перпендикулярны.

Решение

  Пусть  A'C₁ ⊥ BA.  Тогда и  C'A₁ ⊥ BC  (так как A₁С₁C'A' – равнобедренная трапеция). По теореме Фалеса высота, опущенная из точки C на AB, делит отрезок A₁C₁ в отношении     (см. задачу 55404). Так же доказывается, что высота, опущенная из точки A на BC, проходит через ту же точку.   Обратное утверждение доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	13