Задача 64472

Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Теорема косинусов ] [ Теорема Птолемея ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Заславский А.А.

Дан вписанный четырёхугольник, острый угол между диагоналями которого равен φ. Докажите, что острый угол между диагоналями любого другого четырёхугольника с теми же длинами сторон (идущими в том же порядке) меньше φ.

Решение

Пусть диагонали четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P, , а угол между ними равен ψ. Обозначим  PA = a,  PB = b,  PC = c,  PD = d.  По теореме косинусов   |AB² – BC² + CD² – CA²| = 2cos ψ (ab + bc + cd + da) = 2AC·BD cos ψ.   Но по неравенству Птолемея (см. задачу 58396 а)
AC·BD ≤ AB·CD + BC·AD,  причём равенство достигается только на вписанном четырёхугольнике. Поэтому

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2013
год
Год	2013
задача
Номер	17