ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64489
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Известно, что в неравностороннем треугольнике ABC точка, симметричная точке пересечения медиан относительно стороны BC, принадлежит описанной окружности. Докажите, что  ∠BAC < 60°.


Решение

  Пусть  ∠BAC = α,  М – точка пересечения медиан треугольника АВС, а точка М' симметрична ей относительно ВС (см. рис.). Тогда
BMC = ∠BM'C = 180° – α.

  Так как точка М лежит внутри треугольника АВС, то  180° – α > α,  то есть  α < 90°.  Следовательно, центр О описанной окружности Ω треугольника АВС лежит в одной полуплоскости с вершиной А (относительно ВС), поэтому  ∠BОC = 2α.
  По условию описанная окружность ω треугольника ВМС, симметрична Ω относительно прямой ВС, поэтому ортоцентр Н треугольника ABC лежит на ω (см. задачу 55463). Кроме того, точка М лежит на отрезке ОН (см. задачу 55595). При этом точки О, М и Н попарно различны, так как треугольник АВС – не равносторонний. Следовательно, точка О лежит вне ω.
  Тогда  ∠BОC < ∠BMC,  то есть  2α < 180° – α  ⇔  α < 60°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .