|
|
 |
Условие
Многочлен степени $n > 1$ имеет $n$ разных корней $х_1$, $х_2$, ..., $х_n$. Его производная имеет корни $y_1$, $y_2$, ..., $y_{n-1}$. Докажите неравенство
$$\frac{x_1^2 + \dots + x_n^2}{n} > \frac{y_1^2 + \dots + y_{n-1}^2}{n-1}.$$
Решение
Можно считать, что наш многочлен приведённый: $P(x) = x_n - a_1 x^{n-1} + a_2 x^{n-2} + \dots$ По формулам Виета $x_1 + ... + x_n = a_1$ и $x_1 x_2 + x_1 x_3 + \dots + x_{n-1} x_n = a_2$, откуда $$2a_2 = (x_1 + \dots + x_n)^2 - (x_1^2 + \dots + x_n^2).$$
Поскольку $P'(x) = nx^{n-1} - (n-1) a_1 x^{n-2} + (n-2) a_2 x^{n-3} + \dots$, аналогично получаем $y_1 + \dots + y_{n-1} = \frac{n-1}n \, a_1$, $$y_1 y_2 + y_1 y_3 + \dots + y_{n-2} y_{n-1} = \frac{n-2}n \, a_2 = $$ $$= \bigg(\frac{n-1}{n} \bigg)^2 \, (x_1 + ... + x_n)^2 - \frac{n-2}{n} \big( (x_1 + ... + x_n)^2 - (x_1^2 + \dots + x_n^2)\big) = $$ $$= \bigg(\frac{x_1 + ... + x_n}{n} \bigg)^2 + \frac{n-2}{n} (x_1^2 + \dots + x_n^2).$$ После подстановки полученного выражения в правую часть исходного неравенства, умножения на $n-1$ и приведения подобных членов оно превратится в известное неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим (для неравных чисел; см. задачу 61402 б).
Замечания
1. 6 баллов.
2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №6, зад. М2113).
