ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64613
Темы:    [ Многочлены (прочее) ]
[ Производная (прочее) ]
[ Средние величины ]
[ Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Многочлен степени  n > 1  имеет n разных корней х1, х2, ..., хn. Его производная имеет корни y1, y2, ..., yn–1.
Докажите неравенство  


Решение

  Можно считать, что наш многочлен приведённый:  P(x) = xn – a1xn–1 + a2xn–2 + ...  По формулам Виета  x1 + ... + xn = a1x1x2 + x1x3 + ... + xn–1xn = a2,  откуда  
  Поскольку  P'(x) = nxn–1 – (n – 1)a1xn–2 + (n – 2)a2xn–3 + ...,  аналогично получаем:  
 

 
  После подстановки полученного выражения в правую часть исходного неравенства, умножения на  n – 1  и приведения подобных членов оно превратится в известное неравенство между средним квадратичным и средним арифметическим (для неравных чисел; см. задачу 61402 б).

Замечания

1. 6 баллов.

2. Задача также предлагалась в Задачнике "Кванта" ("Квант", 2008, №6, зад. М2113).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 29
Дата 2007/2008
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .