100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

   Решение

Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник.
Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?

   Решение

а) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых.
б) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

   Решение

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

   Решение

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Трехгранные и многогранные углы (прочее) ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

Решение

  Обозначим через A', B', C', D' проекции вершин A, B, C, D на плоскость α. Пусть X – произвольная точка на продолжении отрезка KL за точку K. Тогда
∠(KXA,KXN) = ∠(KLA, KLM)  и  ∠(KNA, KNX) = ∠(NKD, NKL).  По условию эти углы равны; значит, в трёхгранном угле KANX (с вершиной K) двугранные углы при ребрах KN и KX равны между собой. Это означает, что плоскость, проходящая через прямую KA и перпендикулярная плоскости α, – это плоскость симметрии трёхгранного угла KANX. Поэтому точка A' лежит на прямой, содержащей биссектрису угла XKN, то есть на внешней биссектрисе угла NKL.

  Аналогично показывается, что A' лежит на внешней биссектрисе угла MNK. Применяя такие же рассуждения для точек B', C', D', получаем, что точки A', B', C', D' – пересечения внешних биссектрис соседних углов четырёхугольника KLMN.
  Из треугольника A'KN находим  ∠B'A'D' = ∠KA'N = 180° – ∠A'KN – ∠A'NK = (90° – ∠A'KN) + (90° – ∠A'NK) = ½ (∠NKL + ∠MNK).  Аналогично получаем, что ∠B'C'D' = ½ (∠KLM + ∠LMN).  Таким образом,  ∠B'A'D' + ∠B'C'D' = ½ (∠NKL + ∠MNK + ∠KLM + ∠LMN) = 180°,  откуда и следует, что четырёхугольник A'B'C'D' – вписанный.

Источники и прецеденты использования