ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64671
Темы:    [ Алгебраические уравнения и системы уравнений (прочее) ]
[ Формулы сокращенного умножения (прочее) ]
[ Показательные уравнения ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Число a – корень уравнения  х11 + х7 + х3 = 1.  При каких натуральных значениях n выполняется равенство  a4 + a3 = an + 1?


Решение

  Подстановкой в уравнение убеждаемся в том, что  а ≠ 0  и  а ≠ ±1.
  Из условия следует, что  а11 + а7 + а3 = 1.  Умножив обе части этого равенства на  а4 – 1,  получим  а15а3 = а4 – 1  ⇔  a4 + a3 = a15 + 1.  Сравнив полученное равенство с равенством, данным в условии, получим  an = a15.  Так как a по модулю отлично от нуля и единицы, то  n = 15.


Ответ

При  n = 15.

Замечания

Левая часть данного уравнения представляет собой геометрическую прогрессию. Поэтому в решении использован тот же приём, что и при выводе формулы суммы первых членов геометрической прогрессии.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2013/14
класс
Класс 10
задача
Номер 3.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .