Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c  (AB = c,  BC = a,  CA = b  и  a < b < c).  На лучах BC и AC отмечены соответственно такие точки B₁ и A₁, что  BB₁ = AA₁ = c.  На лучах CA и BA отмечены соответственно такие точки C₂ и B₂, что  CC₂ = BB₂ = a.  Найти  A₁B₁ : C₂B₂.

   Решение

В треугольнике ABC  ∠A = 45°,  BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём  BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.

   Решение

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3 Классы:

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  ∠A = 45°,  BH – высота, точка K лежит на стороне AC, причём  BC = CK.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с центром вневписанной окружности треугольника BCH.

Решение

Поскольку треугольник BCK – равнобедренный, то серединный перпендикуляр к стороне BK совпадает с биссектрисой угла ACB (см. рис.). Треугольник AHB – также равнобедренный, поэтому серединный перпендикуляр к стороне AB совпадает с биссектрисой угла AHB. Следовательно, центр описанной окружности треугольника ABK совпадает с точкой пересечения биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника BCH, то есть с центром его вневписанной окружности.

Источники и прецеденты использования