Можно ли в квадрате 10*10 расставить 12 кораблей 1*4 (для игры типа "морской бой") так, чтобы корабли не соприкасались друг с другом (даже вершинами)?

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Поворот помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На прямой лежат точки X, Y, Z (именно в таком порядке). Треугольники XAB, YBC, ZCD – правильные, причём вершины первого и третьего ориентированы против часовой стрелки, а второго по часовой стрелке. Докажите, что прямые AC, BD и XY пересекаются в одной точке.

Решение

  Через  ∠(k, l)  будем обозначать направленный угол между прямыми k и l (считающийся против часовой стрелки).
  При повороте на 60° по часовой стрелке вокруг B точки A и C переходят соответственно в X и Y. Следовательно,  ∠(XY, AC) = 60°.  Пусть P – точка пересечения прямых XY и AC. Тогда  ∠(XP, AP) = 60° = ∠(XB, AB), то есть точки A, X, P, B лежат на одной окружности. Отсюда
∠(CP, PB) = ∠(AX, XB) = 60° = ∠(CY, YB),  то есть точки B, C, P, Y также лежат на одной окружности. Таким образом, точка P является второй точкой пересечения прямой XZ и описанной окружности треугольника BCY. Аналогично показывается, что прямая BD также проходит через эту точку. (В случае, если эти окружность и прямая касаются, P совпадает с Y, и все три прямые проходят через Y.)

Источники и прецеденты использования