|
|
 |
Условие
Вокруг треугольника ABC описали окружность k. На сторонах треугольника отметили три точки A1, B1 и C1, после чего сам треугольник стёрли. Докажите, что его можно однозначно восстановить тогда и только тогда, когда прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
Решение
Лемма. Рассмотрим треугольники ABC и A'B'C', вписанные в окружность Ω; пусть их соответствующие стороны пересекаются в точках A1, B1, C1. Тогда
Доказательство. Из подобия треугольников AC1A' и B'C1B имеем Перемножая эти равенства с четырьмя аналогичными, получаем требуемое.
Докажем сначала, что для любых точек A1, B1 на сторонах BC и AC найдётся не более одной точки C1 на стороне AB, для которой треугольник ABC восстанавливается однозначно. Зафиксируем треугольник ABC и точки A1, B1. Пусть A2, B2 – вторые точки пересечения прямых AA1, BB1 с окружностью Ω; C' – произвольная точка дуги A2CB2; A', B' – вторые точки пересечения прямых C'A1, C'B1 с Ω; C1 – точка пересечения AB и A'B'. Когда точка C' близка к A2 или к B2, точка C1 близка к A или B соответственно. При движении точки C' от A2 до B2 точка C1 непрерывно движется от A до B (в случае, когда
C = C', рассматривается предельное положение точки C2; то, что оно существует, гарантируется леммой). Значит, для любой точки C1, кроме, возможно, вышеупомянутого предельного положения, треугольник ABC однозначно не восстанавливается, ибо существует второй треугольник A'B'C'.
