ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64753
Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
Сложность: 4-
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Отрезок AD – диаметр описанной окружности остроугольного треугольника ABC. Через точку H пересечения высот этого треугольника провели прямую, параллельную стороне BC, которая пересекает стороны AB и AC в точках E и F соответственно.
Докажите, что периметр треугольника DEF в два раза больше стороны BC.


Решение

  Пусть X и Y – точки пересечения прямых BD и CD с прямой EF (см. рис.). Как известно (см. задачу 108949), точки D и H симметричны относительно середины стороны BC. Отсюда следует, что BC – средняя линия треугольника XYD. Заметим, что углы ABD и ACD – прямые. Поэтому  XE = DE,
YF = DF
,  и следовательно,  DE + EF + DF = XE + EF + FY = XY = 2BC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 12 (2014 год)
Дата 2014-04-12
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .