Условие
Внутри равнобедренного прямоугольного треугольника ABC с гипотенузой AB взята такая точка M, что угол MAB на 15° больше угла MAC, а угол MCB на 15° больше угла MBC. Найдите угол BMC.
Решение
Пусть точка X пересечения AM и высоты CH треугольника ABC лежит на отрезке AM (см. рис.; в конце решения мы покажем, что другой случай невозможен).
Из условия следует, что ∠BAX = 30°. Поэтому ∠CXM = ∠AXH = 90° – ∠XAH = 60°. Поскольку CH также является медианой треугольника ABC, то треугольник AXB – равнобедренный, то есть ∠BXH = 60°. Следовательно, и ∠BXM = 60°.
Рассмотрим отдельно треугольник CXB. В нём ∠XCB = 45°, ∠XBC = 15°, ∠CXB = 120° и XM – биссектриса угла CXB (см. рис.).
Поскольку XM – биссектриса равнобедренного треугольника CXY, то она также является медианой и высотой, следовательно, CMY – также равнобедренный, откуда ∠MYC = ∠MCY = α. С другой стороны, ∠MBC = α, то есть четырёхугольник CMYB – вписанный. Тогда ∠MBY = ∠MCY = α, откуда 2α = 15°, α = 7,5° и ∠CMB = 150°.
Докажем, что точка X лежит на отрезке AM. Пусть это не так (см. рис.).
Снова рассмотрим треугольник AXB отдельно и проведем отрезок CY так, что ∠YCB = 15°. По условию, ∠MCB = 15° + ∠MBC. Так как
∠XCB = 30° + ∠XBC, то чтобы выполнялось условие, угол MBX должен быть на 15° больше угла MCX. Треугольник CMY – равнобедренный, следовательно, ∠MCX = ∠MYX > ∠MBY, то есть такое расположение точек невозможно.
Ответ
150°.
