ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64806
Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
[ Поворот помогает решить задачу ]
[ Гомотетия: построения и геометрические места точек ]
Сложность: 4
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.


Решение 1

Пусть M, K и L – середины сторон AB, BC и AC соответственно. Тогда  ∠LEM = 2∠LKM = 2∠A.  Обозначим стороны угла A через l1 и l2 так, чтобы при повороте вокруг A на угол A против часовой стрелки l1 переходила в l2 (см. рис.). Тогда при повороте по часовой стрелке вокруг E на 2∠A середина стороны треугольника, лежащей на l1, перейдет в середину стороны, лежащей на l2. Поэтому точка M находится как пересечение l2 с повёрнутой на 2∠A прямой l1. А точка, симметричная A относительно M, будет вершиной B треугольника. Вершина C строится аналогично.


Решение 2

Пусть O и H – центр описанной окружности и ортоцентр треугольника. Тогда E – середина отрезка OH,  ∠BAO = ∠HAC  и  AH = 2AO cos∠A.  Следовательно, композиция симметрии относительно биссектрисы угла A, гомотетии с центром A и коэффициентом  2 cos∠A  и симметрии относительно E является подобием с центром O. Соответственно, найдя центр этого подобия, можно построить точки B и C как вторые точки пересечения сторон данного угла и окружности с центром O, проходящей через A.

Замечания

При  ∠A = 60°  рассмотренное подобие будет симметрией относительно прямой, проходящей через E и перпендикулярной биссектрисе угла A. Соответственно, в качестве O можно брать любую точку этой прямой. В остальных случаях решение единственно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .