Дан треугольник ABC. Рассмотрим три окружности, первая из которых касается описанной окружности Ω в вершине A, а вписанной окружности ω внешним образом в какой-то точке A₁. Аналогично определяются точки B₁ и C₁.
  а) Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.
  б) Пусть A₂ – точка касания ω со стороной BC. Докажите, что прямые AA₁ и AA₂ симметричны относительно биссектрисы угла A.

   Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — основания высот AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC. Докажите, что прямые Эйлера треугольников AB₁C₁, BA₁C₁ и CA₁B₁ пересекаются на окружности девяти точек треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

   Решение

Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ] [ Двугранный угол ] [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Проектирование помогает решить задачу ] [ Принцип Дирихле (площадь и объем) ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого тетраэдра его самый маленький двугранный угол (из шести) не больше чем двугранный угол правильного тетраэдра.

Решение

Будем считать, что наибольшая из площадей граней тетраэдра равна 1; обозначим эту грань через F. Пусть S₁, S₂ и S₃ – площади остальных трёх граней, а α₁, α₂ и α₃ – соответственно двугранные углы, образованные этими гранями с F. Проектируя эти три грани на F, получаем, что
S₁ cos α₁ + S₂ cos α₂ + S₃ cos α₃ = 1.  Следовательно, одно из выражений вида  S_i cos α_i  не меньше ⅓, то есть  cos α_i ≥ ¹/_Si ≥ ⅓.  В правильном тетраэдре все три выражения равны, как и все четыре площади, так что в нём косинус двугранного угла равен ⅓.

Источники и прецеденты использования