ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64871
Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]
[ Две пары подобных треугольников ]
[ Прямая Симсона ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Садыков Р.

Дан прямоугольник ABCD. Через точку B провели две перпендикулярные прямые. Первая прямая пересекает сторону AD в точке K, а вторая   продолжение стороны CD в точке L. Пусть F – точка пересечения KL и AC. Докажите, что  BFKL.


Решение 1

Так как  ∠ABK = ∠CBL,  треугольники ABK и CBL подобны. Значит, треугольники ABC и KBL также подобны и  ∠BKF = ∠BAF.  Следовательно, четырёхугольник ABFK – вписанный и  ∠BFK = 90° (см. рис.).


Решение 2

Заметим, что точка B лежит на описанной окружности треугольника KLD. Точки A и C являются основаниями перпендикуляров, опущенных из точки B на прямые KD и DL. А значит, основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую KL, согласно задаче 52421 лежит на прямой Симсона AC, то есть совпадает с точкой F, что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
тур
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .