Выбрано 5 задач 
Убрать все задачи
Докажите, что если выпуклый четырёхугольник ABCD можно разрезать на два подобных четырёхугольника, то ABCD – трапеция или параллелограмм.
На сторонах AB, BC, CA правильного треугольника ABC найти такие точки X, Y, Z (соответственно), чтобы площадь треугольника, образованного прямыми CX, BZ, AY, была вчетверо меньше площади треугольника ABC и чтобы было выполнено условие: $$\frac{AX}{XB}=\frac{BY}{YC}=\frac{CZ}{ZA}.$$
Известно, что x + 2y + 3z = 1. Какое минимальное значение может принимать выражение x² + y² + z²?
Продолжение медианы AM треугольника ABC пересекает его описанную окружность в точке D. Найдите BC, если AC = DC = 1.
Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.
|
|
 |
Условие
Постройте такое подмножество круга, площадью в половину площади круга, что его образ при симметрии относительно любого диаметра пересекается с ним по площади, равной четверти круга.
Решение
Построим круг, концентричный данному, вдвое меньшей площади. Разделим внутренний круг пополам произвольным диаметром, а внешнее кольцо – перпендикулярным диаметром. Объединив половину внутреннего круга с половиной внешнего кольца, получим искомое множество.
