|
|
 |
Условие
Четырёхугольник ABCD описан около окружности с центром I. Касательные к описанной окружности треугольника AIC в точках A, C пересекаются в точке X. Касательные к описанной окружности треугольника BID в точках B, D пересекаются в точке Y. Докажите, что точки X, I, Y лежат на одной прямой.
Решение
Пусть J – вторая точка пересечения описанных окружностей треугольников AIC и BID. При инверсии относительно вписанной в ABCD окружности точки A, B, C, D перейдут в вершины параллелограмма A'B'C'D' (это нетрудно проверить подсчётом углов, используя подобие треугольников AIB и B'IA' и т.п.), а J – в его центр J'. Треугольники AIC и C'IA' также подобны, причём первый получается из второго композицией гомотетии и симметрии относительно биссектрисы угла AIC, поэтому прямая IJ, содержащая медиану IJ' треугольника C'IA', является симедианой треугольника AIC и, значит, проходит через точку X (см. задачу 56983). По аналогичным соображениям эта прямая проходит через точку Y.
