Задача 64922

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Фельдман Г.

В треугольнике ABC на стороне AB отметили точку D. Пусть ω₁ и Ω₁, ω₂ и Ω₂ – соответственно вписанные и вневписанные (касающиеся AB во внутренней точке) окружности треугольников ACD и BCD. Докажите, что общие внешние касательные к ω₁ и ω₂, Ω₁ и Ω₂ пересекаются на прямой AB.

Решение 1

Пусть I₁, J₁, I₂, J₂ – центры ω₁, Ω₁, ω₂, Ω₂, а K₁, K₂ – точки пересечения прямых I₁J₁, I₂J₂ с AB (см. рис.). Тогда  I₁K₁ : I₁C = J₁K₁ : J₁C,
I₂K₂ : I₂C = J₂K₂ : J₂C  и, дважды применив к треугольнику CK₁K₂ теорему Менелая, получим, что прямые I₁I₂ и J₁J₂ пересекают AB в одной и той же точке. Через эту точку проходят и общие внешние касательные.

Решение 2

Пусть общие внешние касательные к окружностям ω₁ и Ω₂ пересекаются в точке P. Тогда, применив теорему о трёх колпаках (см. здесь) к тройкам окружностей ω₁, Ω₁, Ω₂ и ω₁, ω₂, Ω₂, получим, что точки пересечения общих внешних касательных сначала к окружностям Ω₁, Ω₂, а потом к ω₁, ω₂ являются точкой пересечения прямой PC с прямой AB, то есть совпадают и лежат на AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
тур
задача
Номер	20