ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64982
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Рожкова М.

В треугольнике ABC середины сторон AC, BC, вершина C и точка пересечения медиан лежат на одной окружности.
Докажите, что она касается окружности, проходящей через вершины A, B и ортоцентр треугольника ABC.


Решение

Пусть C' – точка, симметричная C относительно середины AB. Тогда точки A, B, C' и ортоцентр треугольника ABC лежат на одной окружности (см. задачу 108949). С другой стороны, если A0, B0 – середины сторон BC, AC, то треугольник A0B0C гомотетичен треугольнику ABC' относительно центра тяжести M треугольника ABC с коэффициентом –½. Следовательно, описанные окружности этих треугольников касаются в точке M (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .