Условие
Четырёхугольник ABCD описан вокруг окружности, касающейся сторон AB, BC, CD, DA в точках K, L, M, N соответственно. Точки A', B', C', D' – середины отрезков LM, MN, NK, KL. Докажите, что четырёхугольник, образованный прямыми AA', BB', CC', DD', – вписанный.
Решение
Лемма. Точки A, B, C, D лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда биссектрисы углов, образованных прямыми AB и CD, параллельны биссектрисам углов, образованных прямыми AD и BC.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда ABCD – выпуклый четырёхугольник, лучи BA и DC пересекаются в точке E, DA и BC – в точке F. Тогда углы между биссектрисами углов BED и BFD равны полусуммам противоположных углов четырёхугольника, откуда и следует утверждение леммы. Другие случаи рассматриваются аналогично.
Пусть I центр вписанной окружности, r – её радиус. Тогда IC'·IA = r² = IA'·IC, то есть точки A, C, A', C' лежат на одной окружности. По лемме биссектрисы углов между AA' и CC' параллельны биссектрисам углов между IA и IC, а значит, и углов между перпендикулярными им прямыми KN и LM. Аналогично биссектрисы углов между BB' и DD' параллельны биссектрисам углов между KL и MN. Еще раз применив лемму, получим утверждение задачи.
