ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64985
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Касающиеся окружности ]
[ Теорема Паскаля ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
Сложность: 5
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.


Решение

  Лемма. Пусть окружность касается сторон AC, BC треугольника ABC в точках U, V, а описанной около него окружности изнутри в точке T. Тогда прямая UV проходит через центр I вписанной в треугольник ABC окружности.
  Доказательство. Пусть прямые TU, TV вторично пересекают описанную окружность в точках X, Y. Тогда X, Y – середины дуг AC, BC (см. задачу 52427), то есть прямые AY и BX пересекаются в точке I (рис. слева). Поэтому утверждение леммы следует из теоремы Паскаля, примененной к ломаной AYTXBC.

  Пусть I1, I2 – центры вписанных окружностей треугольников ACD, BCD. Из леммы следует, что отрезок XI1 перпендикулярен биссектрисе угла ADC, а XI2 – биссектрисе угла BDC, то есть DI1XI2 – прямоугольник (рис. справа). Пусть Y, C1, C2 – проекции точек X, I1, I2 на AB. Тогда  DC1 = C2Y,  DC2 = C1Y  и  BY – AY = BC2 + C2YAC1C1Y = (BC2DC2) – (AC1DC1) = (BC – CD) – (AC – CD) = BC – AC.  Следовательно, Y – точка касания стороны AB с вписанной окружностью.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2011
класс
Класс 10
задача
Номер 10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .