Задача 64985

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Паскаля ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 5 Классы: 10,11

Условие

Автор: Мокин В.

На стороне AB треугольника ABC взята точка D. В угол ADC вписана окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника ACD, а в угол BDC – окружность, касающаяся изнутри описанной окружности треугольника BCD. Оказалось, что эти окружности касаются отрезка CD в одной и той же точке X. Докажите, что перпендикуляр, опущенный из X на AB, проходит через центр вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

  Лемма. Пусть окружность касается сторон AC, BC треугольника ABC в точках U, V, а описанной около него окружности изнутри в точке T. Тогда прямая UV проходит через центр I вписанной в треугольник ABC окружности.
  Доказательство. Пусть прямые TU, TV вторично пересекают описанную окружность в точках X, Y. Тогда X, Y – середины дуг AC, BC (см. задачу 52427), то есть прямые AY и BX пересекаются в точке I (рис. слева). Поэтому утверждение леммы следует из теоремы Паскаля, примененной к ломаной AYTXBC.

  Пусть I₁, I₂ – центры вписанных окружностей треугольников ACD, BCD. Из леммы следует, что отрезок XI₁ перпендикулярен биссектрисе угла ADC, а XI₂ – биссектрисе угла BDC, то есть DI₁XI₂ – прямоугольник (рис. справа). Пусть Y, C₁, C₂ – проекции точек X, I₁, I₂ на AB. Тогда  DC₁ = C₂Y,  DC₂ = C₁Y  и  BY – AY = BC₂ + C₂Y – AC₁ – C₁Y = (BC₂ – DC₂) – (AC₁ – DC₁) = (BC – CD) – (AC – CD) = BC – AC.  Следовательно, Y – точка касания стороны AB с вписанной окружностью.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
класс
Класс	10
задача
Номер	10.4