Задача 65037

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вневписанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Швецов Д.В.

Вневписанная окружность прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°)  касается стороны BC в точке A₁, а прямой AC в точке A₂. Прямая A₁A₂ пересекает (первый раз) вписанную окружность треугольника ABC в точке A'; аналогично определяется точка C'. Докажите, что  AC || A'C'.

Решение

Пусть r – радиус вписанной окружности. Проведём через центр I вписанной окружности диаметр PQ, параллельный AC (см. рис.). Так как
∠PIC = ∠ACI = ∠BCI  и  CA₁ = r = IP  (см. задачу 55404), четырёхугольник IPA₁C является равнобедренной трапецией. Значит, прямая A₁P параллельна IC, то есть совпадает с A₁A₂. Соответственно, P совпадает с A', и аналогично Q совпадает с C'.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2011
тур
задача
Номер	11