Даны окружность $\omega$ и не лежащая на ней точка $P$. Пусть $ABC$ – произвольный правильный треугольник, вписанный в $\omega$, а точки $A'$, $B'$, $C'$ – проекции $P$ на прямые $BC$, $CA$, $AB$. Найдите геометрическое место центров тяжести треугольников $A'B'C'$.

   Решение

Докажите, что
  а)    делится на 13;
  б)    делится на 17.

   Решение

Темы:    [ Теория графов (прочее) ] [ Принцип Дирихле (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.

Решение

  Заметим, что у каждого в компании не менее трёх знакомых. Действительно, если бы некто X был знаком менее, чем с тремя, то, исключив из компании одного из его знакомых, мы получили бы пятёрку людей, в которой у X не более одного знакомого, то есть посадить их за круглый стол с соблюдением условия невозможно.
  Возьмём теперь любых пятерых и рассадим их за круглый стол. Шестой человек знаком, по крайней мере, с тремя из них; значит, он знаком с какой-то парой сидящих рядом людей. Осталось посадить шестого между ними.

Источники и прецеденты использования