Пусть a, b, c, d, e и f – некоторые числа, причём  ace ≠ 0.  Известно, что значения выражений  |ax + b| + |cx + d|  и  |ex + f |  равны при всех значениях x.
Докажите, что  ad = bc.

   Решение

Точка I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M – середина стороны AC, а W – середина дуги AB описанной окружности, не содержащей C. Оказалось, что  ∠AIM = 90°.  В каком отношении точка I делит отрезок CW?

   Решение

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

   Решение

Тема:    [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что для любого натурального числа  n > 1  найдутся такие натуральные числа a, b, c, d, что  a + b = c + d = ab – cd = 4n.

Решение

Положим  a = 2n + x,  b = 2n – x,  c = 2n + y,  d = 2n – y.  Тогда равенство перепишется в виде  y² – x² = 4n.  Теперь предположим, что  y + x = 2n,
y – x = 2.  Получим  x = n – 1,  y = n + 1,  откуда  a = 3n – 1,  b = n + 1,  c = 3n + 1,  d = n – 1.

Источники и прецеденты использования