Задача 65190

Темы:    [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Якубов А.

В остроугольном треугольнике ABC, в котором  ∠A = 45°,  проведены высоты AA₁, BB₁, CC₁. Биссектриса угла BAA₁ пересекает прямую B₁A₁ в точке D, а биссектриса угла CAA₁ пересекает прямую C₁A₁ в точке E. Найдите угол между прямыми BD и CE.

Решение 1

  Прямая A₁A является биссектрисой угла B₁A₁C₁ (см. задачу 52866). Кроме того,  ∠ B₁A₁C = ∠C₁A₁B = ∠A (см. задачу 52357). Значит, ∠ B₁A₁C₁ = 90°, а  ∠AA₁C = ∠AA₁B₁ = 45°.
  Пусть K и L – точки пересечения прямой AA₁ c прямыми CE и BD соответственно. Из вышесказанного следует, что  ∠BA₁D = ∠DA₁L = 45°.  Следовательно, A₁D – биссектриса угла BA₁L. Поэтому D – центр вневписанной окружности треугольника BAA₁. Значит, BD – биссектриса внешнего угла B. Аналогично E – центр вневписанной окружности треугольника CAA₁, а CE – биссектрисса внешнего угла C.
  Пусть M – точка пересечения прямой CE с прямой BD, тогда  ∠BMC = 180° – ½ (180° – ∠C) – ½ (180° – ∠B) = ½ (∠B + ∠C) = 67,5°.

Решение 2

  Пусть  ∠BAA₁ = 2β,  ∠CAA₁ = 2γ.  Так как  2β + 2γ = 45°,  то  β + γ = 22,5°.
  Точки A₁ и B₁ лежат на окружности с диаметром AB, поэтому  ∠AA₁B₁ = ∠ABB₁ = 45°.
  Из треугольника ADA₁ получаем  ∠B₁DA = 45° – β = 2(β + γ) – β = 2γ + β = ∠B₁AD.  Поэтому  B₁D = B₁A = B₁B.

  Пользуясь вписанными углами, находим  ∠DB₁B = ∠A₁B₁B = ∠A₁AB = 2β.  Так как треугольник BB₁D равнобедренный, то
∠B₁BD = ½ (180° – 2β) = 90° – β.
  Кроме того,  ∠A₁BB₁ = ∠A₁AB₁ = 2γ,  значит,  ∠A₁BD = 90° – β – 2γ.
  Аналогично  ∠A₁CE = 90° – γ – 2β.  Следовательно, искомый угол равен  180° – ∠A₁BD – ∠A₁CE = 3(β + γ) = 3·22,5° = 67,5°.

Ответ

67,5°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	8
задача
Номер	5