Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями:   x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|,  причём  0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

   Решение

Куда переходит полоса  2 < Re z < 3  при отображениях:
  а)  w = z^–1;   б)  w = (z – 2)^–1;   в)  w = (z – ⁵/₂)^–1?

   Решение

Дана фиксированная хорда MN окружности, не являющаяся диаметром. Для каждого диаметра AB этой окружности, не проходящего через точки M и N, рассмотрим точку C, в которой пересекаются прямые AM и BN, и проведём через неё прямую l, перпендикулярную AB. Докажите, что все прямые l проходят через одну точку.

   Решение

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Неравенство Коши ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Прислать комментарий

Условие

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

Решение

Рассмотрим длины дуг между соседними точками. В силу неравенства  a² + b² > (^a+b/₂)²  (при  a ≠ b)  сумма квадратов этих дуг каждую секунду уменьшается. Следовательно, многоугольник никогда не станет таким же, как был.

Замечания

Дисперсия набора длин дуг также уменьшается.

Источники и прецеденты использования