Задача 65362

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Удвоение медианы ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Угол между касательной и хордой ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

В треугольнике ABC  AB = BC,  ∠B = 20°.  Точка M на основании AC такова, что  AM : MC = 1 : 2,  точка H – проекция C на BM. Найдите угол AHB.

Решение

  Достроим треугольник до ромба ABCD. Пусть O – центр ромба. Тогда прямая BM делит медиану AO треугольника ABD в отношении  2 : 1.  Значит, эта прямая тоже является медианой, то есть проходит через середину K отрезка AD.
  Заметим, что точки O и H лежат на окружности с диаметром BC. Далее можно рассуждать по-разному.

  Первый способ.  ∠KHO = ∠BCO = ∠KAO.  Следовательно, четырёхугольник AHOK – вписанный и  ∠AHK = ∠AOK = 80°,  а  ∠AHB = 100°  (см. рис.).

  Второй способ.  MH·MB = MO·MC = MA².  Поэтому указанная окружность касается прямой AC, откуда  ∠AHB = 180° – ∠BAC = 100°.

Ответ

100°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3