|
|
 |
Условие
Дан выпуклый четырёхугольник. Постройте циркулем и линейкой точку, проекции которой на прямые, содержащие его стороны, являются вершинами параллелограмма.
Решение
Все углы в решении предполагаются ориентированными.
Пусть K, L, M и N – проекции искомой точки P на стороны AB, BC, CD и DA соответственно. Условие KL || MN равносильно тому, что
∠BKL + ∠MND = ∠BAD. В силу вписанности четырёхугольников PKBL и PMDN имеем ∠BKL = ∠BPL и ∠MND = ∠MPD. Следовательно, условие KL || MN равносильно тому, что ∠BPD = ∠BPL + ∠MPD + ∠LPM = ∠BAD + (180° – ∠DCB).
Значит, мы можем построить окружность, проходящую через B и D, на которой лежит точка P (см. рис.).
Аналогично условие KN || LM равносильно тому, что ∠CPA = 180° + ∠CBA – ∠ADC, и можно построить окружность, проходящую через A и C и содержащую P. Одной из точек пересечения полученных двух окружностей будет точка Микеля четвёрки прямых AB, BC, CD и DA (её проекции на стороны четырёхугольника лежат на одной прямой; см. задачи 56628 и 56632). Вторая точка пересечения – искомая.
