ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65371
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Применение проективных преобразований прямой в задачах на доказательство ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан фиксированный треугольник ABC. По его описанной окружности движется точка P так, что хорды BC и AP пересекаются. Прямая AP разрезает треугольник BPC на два меньших, центры вписанных окружностей которых обозначим через I1 и I2 соответственно. Прямая I1I2 пересекает прямую BC в точке Z. Докажите, что все прямые ZP проходят через фиксированную точку.


Решение 1

  Как известно, для любых двух окружностей их центры вместе с центрами внутренней и внешней гомотетий, переводящих одну окружность в другую, образуют гармоническую четверку. Для данных окружностей с центрами I1 и I2, центром внешней гомотетии является точка Z, а центр внутренней лежит на прямой AP (поскольку BZ и AP являются общими внешней и внутренней касательными к окружностям). При проекции прямой I1I2 из точки P на описанную окружность Ω треугольника ABC, центр внутренней гомотетии переходит в A, а точки I1 и I2 – в середины дуг AB и AC соответственно. Так как эти три проекции фиксированы, проекция точки Z также не зависит от P. Значит, все возможные прямые ZP проходят через фиксированную точку окружности Ω.


Решение 2

  Пусть U – точка пересечения AP и BC. Докажем, что двойное отношение (BCZU) не зависит от P; отсюда проектированием прямой BC на описанную окружность Ω треугольника ABC получается, что прямая PZ пересекает окружность в фиксированной точке.
  Пусть I – центр вписанной окружности треугольника PBC соответственно (см. рис.). Применяя теорему Менелая к треугольнику BIC, получаем  
  Поскольку PI, PI1 и PI2 – биссектрисы углов BPC, BPU и UPC соответственно,  ∠BPI1 = ∠IPI2 = ½ ∠C  и  ∠I1PI = ∠I2PC = ½ ∠B.  Применяя теорему синусов к треугольникам BPI1, I1PI, IPI2 и I2PC, получаем     и  
  Применяя теорему синусов к треугольникам BPC, ABU и ACU, имеем  
  Перемножая четыре полученных равенства, получаем  

Замечания

Из найденного значения  (BCZU)  следует, что прямая PZ пересекает окружность в точке, лежащей на прямой, соединяющей центр вписанной окружности треугольника ABC и середину дуги CAB. Можно также показать, что в этой точке полувписанная окружность, касающаяся сторон AB и AC, касается описанной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2015
класс
Класс 9
задача
Номер 9.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .