Задача 65372

Темы:    [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

В неравнобедренном прямоугольном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно. Докажите, что прямые AH_c, CH_a пересекаются на средней линии треугольника ABC.

Решение

Пусть A' и C' – середины сторон AB и BC соответственно. Так как треугольники AMB и CBM равнобедренные, их высоты, опущенные из точки M, проходят через A' и C' соответственно. Следовательно,  AA' || H_cC',  AH_a || H_cC  и  A'H_a || C'C.  Итак, соответственные стороны треугольников AA'H_a и H_cC'C параллельны, то есть эти треугольники гомотетичны. Значит, прямые AH_c, H_aC и A'C' пересекаются в центре соответствующей гомотетии, и он лежит на средней линии A'C' (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
класс
Класс	9
задача
Номер	9.5