|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC серединный перпендикуляр к BC пересекает прямые AB и AC в точках AB и AC соответственно. Обозначим через Oa центр описанной окружности треугольника AABAC. Аналогично определим Ob и Oc. Докажите, что описанная окружность треугольника OaObOc касается описанной окружности исходного треугольника.
Решение
Пусть касательные к описанной окружности треугольника ABC в его вершинах пересекаются в точках A', B', C' (A' – точка пересечения касательных в точках B и C, и т.п.).
Рассмотрим треугольник, образованный прямыми CA, CB и произвольной прямой l, перпендикулярной AB. Все такие треугольники гомотетичны друг другу с центром в C. Более того, при равномерном движении l центр описанной окружности этого треугольника движется прямолинейно и равномерно.
Рассмотрим два положения l, когда она проходит через B и A. В первом положении центром описанной окружности полученного треугольника CC'AB является точка A', так как CA' = BA' и ∠CA'B = 180° – 2∠A = 2∠CC'AB (см. рис.). Аналогично во втором положении центром будет точка B'. Тогда центр Oc окружности CCACB – это середина отрезка A'B'. (Случаи расположения точек, отличные от показанного на рисунке, разбираются аналогично.)
По тем же соображениям Oa и Ob – середины отрезков B'C' и A'C' соответственно. Следовательно, описанная окружность треугольника OaObOc – это окружность девяти точек треугольника A'B'C', а описанная окружность треугольника ABC – либо вписанная (если треугольник ABC остроугольный), либо вневписанная окружность этого треугольника. В любом случае эти две окружности касаются по теореме Фейербаха (см. задачу 58348).
