Версия для печати
Убрать все задачи

---

100 гирек веса 1, 2, ..., 100 г разложили на две чаши весов так, что есть равновесие.
Докажите, что можно убрать по две гирьки с каждой чаши так, что равновесие не нарушится.

   Решение

---

Имеется 100 палочек, из которых можно сложить 100-угольник.
Может ли случиться, что ни из какого меньшего числа этих палочек нельзя сложить многоугольник?

   Решение

---

а) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух параллельных прямых.
б) Найдите ГМТ, равноудаленных от двух пересекающихся прямых.

   Решение

---

Плоскость α пересекает рёбра AB, BC, CD и DA треугольной пирамиды ABCD в точках K, L, M и N соответственно. Оказалось, что двугранные углы
∠(KLA, KLM),  ∠(LMB, LMN),  ∠(MNC, MNK)  и  ∠(NKD, NKL)  равны. (Через  ∠(PQR, PQS)  обозначается двугранный угол при ребре PQ в тетраэдре PQRS.) Докажите, что проекции вершин A, B, C и D на плоскость α лежат на одной окружности.

   Решение

---

Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)

   Решение

Темы:    [ Шахматные доски и шахматные фигуры ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Какое наименьшее число клеток надо отметить на доске 15×15 так, чтобы слон с любой клетки доски бил не менее двух отмеченных клеток? (Слон бьёт и ту клетку, где стоит.)

Решение

  Удобнее решить задачу в общем виде: покажем, что на доске  (2n+1)×(2n+1)  (n > 1)  ответ 4n. (Рисунок соответствует случаю  n = 3.)
  Пример. Отметим клетки по периметру прямоугольника  (2n–1)×3,  как показано на рисунке. При этом на длинных диагоналях (из более чем  n + 1  клетки) отмечено по две клетки. Только четыре клетки доски (они закрашены на рисунке) не лежат на длинных диагоналях, но и для них требуемое условие выполнено.

  Оценка. Расставим 8n слонов во всех клетках по периметру доски. При этом каждая клетка доски бьётся не более чем четырьмя слонами. Поскольку каждый слон должен бить не менее двух отмеченных клеток, отметить придётся не менее  8n·2 : 4 = 4n   клеток.

Ответ

28 клеток.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования