Версия для печати
Убрать все задачи

---

Напечатать все последовательности длины k из чисел 1..n.

   Решение

---

а) Докажите, что производящая функция последовательности чисел Фибоначчи   F(x) = F₀ + F₁x + F₂x² + ... + F_nxⁿ + ...

может быть записана в виде     где   = ,  = .

б) Пользуясь результатом задачи 61490, получите формулу Бине (см. задачу 60578.

   Решение

---

В предложенном в предыдущей задаче алгоритме используется сравнение двух массивов (x <> last). Устранить его, добавив булевскую переменную l и включив в инвариант соотношение последовательность x - последняя.

   Решение

---

Напечатать все последовательности положительных целых чисел длины k, у которых i-ый член не превосходит i.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.

Решение

  Пусть a и b – половины сторон (см. рис.). Тогда c – средняя линия и равна половине третьей стороны. Напомним, что медианы делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1.  Запишем три неравенства треугольника и сложим их.

  а)  3x < a + c,  3y < b + c,  c < x + y.  Отсюда  2(x + y) < a + b + c.  Осталось умножить на ³/₂.
  б)  a < 2x + y,  b < x + 2y,  c < x + y.  Отсюда  a + b + c < 4(x + y).  Осталось умножить на ¾.

Замечания

Баллы: 3 + 5

Источники и прецеденты использования