Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

   Решение

У многочленов Р(х) и Q(х) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность  Р(2015) – Q(2015)  кратна 1007.

   Решение

Тема:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

У многочленов Р(х) и Q(х) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность  Р(2015) – Q(2015)  кратна 1007.

Решение

  У данных многочленов равны суммы коэффициентов, значит,  Р(1) = Q(1).  Поэтому  Р(2015) – Q(2015) = (Р(2015) – Р(1)) – (Q(2015) – Q(1)).
  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562) каждая из разностей  Р(2015) – Р(1)  и  Q(2015) – Q(1)  кратна 2014, поэтому разность   Р(2015) – Q(2015)  также кратна  2014 = 2·1007.

Источники и прецеденты использования