Задача 65526

Темы:    [ Пирамида (прочее) ] [ Признаки перпендикулярности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Каждая боковая грань пирамиды является прямоугольным треугольником, в котором прямой угол примыкает к основанию пирамиды. В пирамиде проведена высота. Может ли она лежать внутри пирамиды?

Решение

  Пусть основанием пирамиды SA₁...A_n является многоугольник A₁...A_n (см. рисунки). Возможны два случая.
  1) Соседние углы в двух соседних боковых гранях – прямые. Пусть, например,  ∠SA₂A₁ = ∠SA₂A₃ = 90°  (рис. слева). Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости  SA₂ ⊥ A₁A₂A₃,  то есть SA₂ – высота пирамиды, и она принадлежит боковой поверхности пирамиды.

  2) В любых двух соседних боковых гранях прямые углы не имеют общей вершины. Пусть в прямоугольных треугольниках SA_nA₁, SA₁A₂, ..., SA_n–1A_n вершинами прямых углов являются точки A₁, A₂, ..., A_n соответственно (рис. справа). Воспользуемся тем, что гипотенуза больше катета. Тогда из треугольника SA₁A₂  SA₁ > SA₂,  из треугольника SA₂A₃  SA₂ > SA₃,  и так далее.
  Записав аналогичные неравенства для каждой боковой грани, получим  SA₁ > SA₂ > ... > SA_n > SA₁,  то есть  SA₁ > SA₁.  Противоречие.
  Таким образом, внутри данной пирамиды высота лежать не может.

Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2015
класс
Класс	11
задача
Номер	11.5