Множество чисел А заданы условиями:
а) 1 принадлежит А
б) если k принадлежит А, то 2*k+1 принадлежит А и 3*k принадлежит А, и других чисел множество А не содержит.

Напечатать первые n<1000 чисел множества А в порядке возрастания. Вот начало этой распечатки: 1,3,4,7,9,10,13,15,19,...

   Решение

Имеется выпуклый многогранник со 100 рёбрами. Все его вершины срезали плоскостями-ножами близко от самих вершин (то есть так, чтобы плоскости-ножи не пересекались друг с другом внутри или на границе многогранника). Найдите у полученного многогранника
  a) число вершин;
  б) число рёбер.

   Решение

Два n-угольника вписаны в одну окружность, причем наборы длин их сторон одинаковы, но не обязательно равны соответственные стороны. Докажите, что площади этих многоугольников равны.

   Решение

На гранях двух разных правильных тетраэдров M и N написаны числа M1, M2, M3, M4 и N1, N2, N3, N4 в порядке, указанном на рис.1.3. Можно ли совместить тетраэдры так, чтобы на совпавших гранях оказались написаны одинаковые числа? Напечатать ДА или НЕТ.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Разные задачи на разрезания ] [ Раскраски ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 5,6,7

Прислать комментарий

Условие

Равносторонний треугольник со стороной 8 разделили на равносторонние треугольнички со стороной 1 (см. рис.). Какое наименьшее количество треугольничков надо закрасить, чтобы все точки пересечения линий (в том числе и те, что по краям) были вершинами хотя бы одного закрашенного треугольничка?

Решение

  Всего точек пересечения линий  1 + 2 + 3 + ... + 9 = 45,  а у треугольничка три вершины, так что по крайней мере 45 : 3 = 15 треугольничков придётся закрасить.
  Пример с 15 треугольничками см. на рисунке.

Ответ

15 треугольничков.

Замечания

1. Можно показать, что существует только один (с точностью до осевой симметрии) способ закрасить 15 треугольничков.

2. В найденной нами раскраске ни одна вершина не закрашена дважды. Сторона 8 большого треугольника – минимальная, при которой такое "экономное" закрашивание возможно. Оно заведомо невозможно, если длина стороны кратна 3. Более сложный вариант этой задачи (для треугольника со стороной 2015) опубликован в разделе "Задачи" журнала "Математика в школе", 2016, №1.

Источники и прецеденты использования