Версия для печати
Убрать все задачи

---

По каждой из двух пересекающихся прямых с постоянными скоростями, не меняя направления, ползёт по жуку. Известно, что проекции жуков на ось OX никогда не совпадают (ни в прошлом, ни в будущем). Докажите, что проекции жуков на ось OY обязательно совпадут или совпадали раньше.

   Решение

---

В стране несколько городов, некоторые пары городов соединены дорогами, причём между каждыми двумя городами существует единственный несамопересекающийся путь по дорогам. Известно, что в стране ровно 100 городов, из которых выходит по одной дороге. Докажите, что можно построить 50 новых дорог так, что после этого даже при закрытии любой дороги можно будет из каждого города попасть в любой другой.

   Решение

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Прислать комментарий

Условие

Внутри выпуклого четырехугольника A₁A₂B₂B₁ нашлась такая точка C, что треугольники CA₁A₂ и CB₂B₁ – правильные. Точки C₁ и C₂ симметричны точке C относительно прямых A₂B₂ и A₁B₁ соответственно. Докажите, что треугольники A₁B₁C₁ и A₂B₂C₂ подобны.

Решение

  Из условия следует, что  B₁C₁ = B₂C = B₂B₁,  то есть B₂ – центр описанной окружности треугольника B₁CC₁. Поэтому  ∠C₁B₁C = ½ ∠C₁B₂C = ∠A₂B₂C  (это равенство означает, что каждый из углов C₁B₁C и A₂B₂C равен половине дуги C₁C, не содержащей точки B₁, причём это равенство справедливо, даже если эта дуга больше полуокружности), а  ∠A₁B₁C₁ = ∠A₁B₁C + ∠ A₂B₂C.

  Точка B₁ – центр описанной окружности треугольника B₂CC₂. Поэтому  ∠C₂B₂C = ½ ∠C₂B₁C = ∠A₁B₁C,  а  ∠A₂B₂C₂ = ∠A₁B₁C + A₂B₂C.  Значит,
∠A₁B₁C₁ = ∠A₂B₂C₂.  Точно так же доказывается равенство других углов треугольников B₁A₁C₁ и B₂A₂C₂.

Источники и прецеденты использования