Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
В некоторых клетках квадрата 200×200 стоит по одной фишке – красной или синей; остальные клетки пусты. Одна фишка видит другую, если они находятся в одной строке или одном столбце. Известно, что каждая фишка видит ровно пять фишек другого цвета (и, возможно, некоторое количество фишек своего цвета). Найдите наибольшее возможное количество фишек.
Царь вызвал двух мудрецов. Он дал первому 100 пустых карточек и приказал написать на каждой по положительному числу (числа не обязательно разные), не показывая их второму. Затем первый может сообщить второму несколько различных чисел, каждое из которых либо записано на какой-то карточке, либо равно сумме чисел на каких-то карточках (не уточняя, как именно каждое число получено). Второй должен определить, какие 100 чисел написаны на карточках. Если он этого не сможет, обоим отрубят головы; иначе из бороды каждого вырвут столько волосков, сколько чисел сообщил первый второму. Как мудрецам, не сговариваясь, остаться в живых и потерять минимальное количество волосков?
Дан выпуклый пятиугольник $ABCDE$, в котором AE || CD и $AB = BC$. Биссектрисы его углов $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что BK || AE.
За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?
|
|
 |
Условие
За некоторое время мальчик проехал на велосипеде целое число раз по периметру квадратной школы в одном направлении с постоянной по величине скоростью 10 км/ч. В это же время по периметру школы прогуливался его папа со скоростью 5 км/ч, при этом он мог менять направление движения. Папа видел мальчика в те и только те моменты, когда они находились на одной стороне школы. Мог ли папа видеть мальчика больше половины указанного времени?
Решение
Предположим, что папа видел мальчика больше половины указанного времени. Тогда папа видел мальчика больше половины времени, пока мальчик
проезжал какой-нибудь один круг.
Рассмотрим этот круг. Пусть он начинался и заканчивался в точке S периметра школы. Обозначим вершины периметра школы через A, B, C и D так, чтобы точка S лежала на отрезке AB, а мальчик, делая круг, проезжал эти вершины в порядке B, C, D и A (см. рис.).
Без ограничения общности будем считать, что точки K и L лежат внутри отрезка SB, причём точку K мальчик проехал раньше. По построению получаем, что папа видел мальчика не только в точках K и L, но и в симметричных им относительно O точках K' и L'. Значит, папа находился на стороне AB, когда мальчик находился в точке L, и на стороне CD, когда мальчик находился в точке K'. Сумма длин отрезков LB, BC и BK' меньше половины периметра квадрата. Значит, мальчик от точки L до точки K' проехал меньше половины периметра школы, а папа за то же время прошел меньше четверти периметра школы. Противоречие: чтобы добраться от стороны AB до стороны CD папе нужно было пройти не менее четверти периметра школы.
Ответ
Не мог.
