Выбрано 4 задачи 
Убрать все задачи
Два автобуса ехали навстречу друг другу с постоянными скоростями. Первый выехал из Москвы в 11 часов утра и прибыл в Ярославль в 16 часов, а второй выехал из Ярославля в 12 часов и прибыл в Москву в 17 часов. В котором часу они встретились?
Известно, что 1/a – 1/b = 1/a+b. Докажите, что 1/a² – 1/b² = 1/ab.
У менялы на базаре есть много ковров. Он согласен взамен ковра размера a×b дать либо ковёр размера 1/a×1/b, либо два ковра размеров c×b и a/c×b (при каждом таком обмене число c клиент может выбрать сам). Путешественник рассказал, что изначально у него был один ковёр, стороны которого превосходили 1, а после нескольких таких обменов у него оказался набор ковров, у каждого из которых одна сторона длиннее 1, а другая – короче 1. Не обманывает ли он? (По просьбе клиента меняла готов ковёр размера a×b считать ковром размера b×a.)
В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?
|
|
 |
Условие
В Национальной Баскетбольной Ассоциации 30 команд, каждая из которых проводит за год 82 матча с другими командами в регулярном чемпионате. Сможет ли руководство Ассоциации разделить команды (не обязательно поровну) на Восточную и Западную конференции и составить расписание игр так, чтобы матчи между командами из разных конференций составляли ровно половину от общего числа матчей?
Решение
Пусть x и y – общее число матчей, сыгранных внутри Восточной и Западной конференций соответственно, а z – число матчей между командами разных конференций. Нам надо доказать, что равенство z = ½ (x + y + z) невозможно.
Каждая из k команд Восточной конференции участвует в 82 играх; значит, 82k = 2x + z (коэффициент 2 появился из-за того, что каждый внутренний матч учтён у обеих участвовавших в нём команд). Отсюда видно, что число z чётно. Но из подсчёта общего числа матчей x + y + z = 30·82 : 2 следует, что число ½ (x + y + z) = 15·41 нечётно. Значит, равенство z = ½ (x + y + z) не может выполняться.
Ответ
Не сможет.
