|
|
 |
Условие
В треугольнике ABC O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.
Решение
Пусть I, H – соответственно центр вписанной окружности и ортоцентр треугольника. При гомотетии с центром M и коэффициентом –½ точки N и H переходят в I и O соответственно (см. задачу 57784). Поэтому ∠MON = 90° тогда и только тогда, когда IO = IH.
Если один из углов треугольника равен 60°, то IO = IH согласно задаче 56867 б).
Пусть IO = IH. Разберём два случая.
1) AO = AH. Тогда согласно задаче 55599 ∠A = 60° или 120°. В последнем случае углы B и C меньше 60°, значит, BO ≠ BH, CO ≠ CH, и мы фактически приходим к случаю 2.
2) AO ≠ AH, BO ≠ BH. Так как AI – биссектриса угла HAO, то в треугольниках AOI и AHI сторона AI – общая, IO = IH, ∠OAI = ∠HAI, но AO ≠ AH. Следовательно, ∠AOI + ∠AHI = 180°, то есть точки A, O, I, H лежат на одной окружности. Аналогично точки B, O, I, H лежат на одной (причём той же) окружности. Если треугольник ABC – остроугольный, то 2∠C = ∠AOB = ∠AHB = 180° – ∠C и ∠C = 60°.
Случаи неостроугольного треугольника разбираются аналогично и приводят к тому же результату или к противоречию.
