ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65803
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]
[ Ортоцентр и ортотреугольник ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  O, M, N – центр описанной окружности, центр тяжести и точка Нагеля соответственно.
Докажите, что угол MON прямой тогда и только тогда, когда один из углов треугольника равен 60°.

Решение

  Пусть I, H – соответственно центр вписанной окружности и ортоцентр треугольника. При гомотетии с центром M и коэффициентом –½ точки N и H переходят в I и O соответственно (см. задачу 57784). Поэтому  ∠MON = 90°  тогда и только тогда, когда  IO = IH.
  Если один из углов треугольника равен 60°, то  IO = IH  согласно задаче 56867 б).
  Пусть  IO = IH.  Разберём два случая.
  1)  AO = AH.  Тогда согласно задаче 55599  ∠A = 60°  или 120°. В последнем случае углы B и C меньше 60°, значит,  BO ≠ BH,  CO ≠ CH,  и мы фактически приходим к случаю 2.
  2)  AO ≠ AH,  BO ≠ BH.  Так как AI – биссектриса угла HAO, то в треугольниках AOI и AHI сторона AI – общая,  IO = IH,  ∠OAI = ∠HAI,  но  AO ≠ AH.  Следовательно,  ∠AOI + ∠AHI = 180°,  то есть точки A, O, I, H лежат на одной окружности. Аналогично точки B, O, I, H лежат на одной (причём той же) окружности. Если треугольник ABC – остроугольный, то  2∠C = ∠AOB = ∠AHB = 180° – ∠C  и  ∠C = 60°.
  Случаи неостроугольного треугольника разбираются аналогично и приводят к тому же результату или к противоречию.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год 2016
тур
задача
Номер 15

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .