|
|
 |
Условие
В призму ABCA'B'C' вписана сфера, касающаяся боковых граней BCC'B', CAA'C, ABB'A' в точках A0, B0, C0 соответственно. При этом
∠A0BB' = ∠B0CC' = ∠C0AA'.
а) Чему могут равняться эти углы?
б) Докажите, что отрезки AA0, BB0, CC0 пересекаются в одной точке.
в) Докажите, что проекции центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник.
Решение
а) Обозначим значение этих углов через θ. Из равенства треугольников СC'A0 и СC'B0 следует, что угол A0СC' также равен θ. Аналогично
∠B0AA' = ∠C0BB' = θ. Следовательно, 6θ = 540° – (∠C0AB + ∠C0AC + ∠A0BC + ∠A0CB + ∠B0CA + ∠B0AC). Но, например, ∠C0AB = ∠TAB, где T – точка касания сферы с гранью ABC. Из этого и пяти аналогичных равенств получаем, что сумма шести углов в скобках равна сумме углов треугольника ABC, то есть θ = 60°.
б) Выше доказано, что ∠AB0C = ∠BA0C = 120°. Значит, прямые AB0 и BA0 пересекают ребро CC' в такой точке K, что CK = CB0 = CA0 (треугольники CB0K и CA0K правильные, поскольку у них по два угла равны 60°). Следовательно, точки A, B, A0, B0 лежат в одной плоскости, то есть прямые AA0 и BB0 пересекаются. Аналогично получаем, что каждая из этих прямых пересекается с прямой CC0. Поскольку эти три прямые не лежат в одной плоскости, точки пересечения совпадают.
в) Из вышеизложенного следует, что ∠ATB = ∠BTC = ∠CTA = 120°, то есть T – точка Торричелли треугольника ABC. Рассмотрим вторую сферу, касающуюся плоскостей боковых граней и касающуюся грани ABC с другой стороны в точке T'. Расстояния от T и T' до сторон треугольника ABC относятся как котангенсы и тангенсы половин соответствующих двугранных углов призмы, следовательно, эти точки изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Отсюда получаем, что сфера, вписанная в призму, касается грани A'B'C' в её точке Аполлония (см. здесь). Проекции этой точки, а значит, и центра сферы на прямые A'B', B'C', C'A' образуют правильный треугольник (см. задачу 108009).
Ответ
а) 60°.
